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论文
InsightFace : Additive Angular Margin Loss for Deep Face Recognition
官方mxnet代码：
说明：没用过mxnet，下面的代码注释只是纯粹从代码的角度来分析并进行注释，如有错误之处，敬请谅解，并欢迎指出。
先查看sphereface，查看$\psi (\theta )$的介绍：
论文arcface中，定义$\psi (\theta )$为：
$\psi (\theta )=\cos ({
{\theta }_{yi}}+m)$同时对w及x均进行了归一化，为了使得训练能收敛，增加了一个参数s=64，最终loss如下：
$L=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\log \frac{
{ {e}^{s(\cos ({ {\theta }_{yi}}+m))}}}{ { {e}^{s(\cos ({ {\theta }_{yi}}+m))}}+\sum\nolimits_{j=n,j\ne yi}^{n}{ { {e}^{s\cos { {\theta }_{j}}}}}}}$其中，
${
{W}_{j}}=\frac{ { {W}_{j}}}{\left\| { {W}_{j}} \right\|}$，${ {x}_{i}}=\frac{ { {x}_{i}}}{\left\| { {x}_{i}} \right\|}$，$\cos { {\theta }_{j}}=W_{j}^{T}{ {x}_{i}}$程序中先对w及x归一化，然后通过全连接层得到cosθ，再扩大s倍，得到scosθ。
对于yi处，由于
$\cos (\theta +m)=\cos \theta \cos m-\sin \theta \sin m$
以及
$\sin \theta =\sqrt{1-{
{\cos }^{2}}\theta }$得到sinθ。
由于$\cos (\theta +m)$非单调，设置了easy_margin标志，当其为真时，使用0作为阈值，当特征和权重的cos值小于0，直接截断；当其为假时，使用cos(pi-m)=-cos(m)作为阈值。该阈值小于0。
之后判断时，当easy_margin为真时，若s*cos(θ+m)小于0，直接使用s*cos(θ)；当easy_margin为假时，若s*cos(θ+m)小于0，使用s*cos(θ)-s*m*sin(m)。
具体的代码如下（完整代码见参考网址）：
1 s = args.margin_s # 参数s 2 m = args.margin_m # 参数m 3 4 _weight = mx.symbol.Variable("fc7_weight", shape=(args.num_classes, args.emb_size), lr_mult=1.0) # (C,F) 5 _weight = mx.symbol.L2Normalization(_weight, mode='instance') # 对w进行归一化 6 nembedding = mx.symbol.L2Normalization(embedding, mode='instance', name='fc1n')*s # 对x进行归一化，并得到s*x，(B,F) 7 fc7 = mx.sym.FullyConnected(data=nembedding, weight = _weight, no_bias = True, num_hidden=args.num_classes, name='fc7') # Y=XW'+b，(B,F)*(C,F)'=(B,C)，'为转置，此处得到scos(theta) 8 9 zy = mx.sym.pick(fc7, gt_label, axis=1) # 得到fc7中gt_label位置的值。(B,1)或者(B)，即当前batch中yi处的scos(theta)10 cos_t = zy/s # 由于fc7及zy均为cos的s倍，此处除以s，得到实际的cos值。(B,1)或者(B)11 12 cos_m = math.cos(m)13 sin_m = math.sin(m)14 mm = math.sin(math.pi-m)*m # sin(pi-m)*m = sin(m)*m15 threshold = math.cos(math.pi-m) # 阈值，避免theta + m >= pi，实际上threshold < 016 if args.easy_margin:17 cond = mx.symbol.Activation(data=cos_t, act_type='relu') #easy_margin=True，直接使用0作为阈值，得到超过阈值的索引18 else:19 cond_v = cos_t - threshold #easy_margin=False，使用threshold（负数）作为阈值。20 cond = mx.symbol.Activation(data=cond_v, act_type='relu') # 得到超过阈值的索引21 body = cos_t*cos_t # 通过cos*cos + sin * sin = 1， 来得到sin_theta22 body = 1.0-body23 sin_t = mx.sym.sqrt(body) # sin_theta24 new_zy = cos_t*cos_m # cos(theta+m)=cos(theta)*cos(m)-sin(theta)*sin(m)，此处为cos(theta)*cos(m)25 b = sin_t*sin_m # 此处为sin(theta)*sin(m)26 new_zy = new_zy - b # 此处为cos(theta)*cos(m)-sin(theta)*sin(m)=cos(theta+m)27 new_zy = new_zy*s # 此处为s*cos(theta+m)，扩充了s倍28 if args.easy_margin:29 zy_keep = zy # zy_keep为zy，即s*cos(theta)30 else:31 zy_keep = zy - s*mm # zy_keep为zy-s*sin(m)*m=s*cos(theta)-s*m*sin(m)32 new_zy = mx.sym.where(cond, new_zy, zy_keep) # cond中>0的保持new_zy=s*cos(theta+m)不变，<0的裁剪为zy_keep= s*cos(theta) or s*cos(theta)-s*m*sin(m)33 34 diff = new_zy - zy # 35 diff = mx.sym.expand_dims(diff, 1)36 gt_one_hot = mx.sym.one_hot(gt_label, depth = args.num_classes, on_value = 1.0, off_value = 0.0)37 body = mx.sym.broadcast_mul(gt_one_hot, diff) # 对应yi处为new_zy - zy38 fc7 = fc7+body # 对应yi处，fc7=zy + (new_zy - zy) = new_zy，即cond中>0的为s*cos(theta+m)，<0的裁剪为s*cos(theta) or s*cos(theta)-s*m*sin(m)